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I teoremi, spiegati facile

I teoremi di analisi sono centinaia: questi 42 sono scelti fra quelli che ricorrono nei programmi del primo anno e che all'esame vengono chiesti con la dimostrazione. Per ognuno trovi l'enunciato come lo chiede il professore, la dimostrazione passo per passo e un esempio che puoi cambiare: scrivi la tua funzione e il grafico si rifà da solo, con la tabella di come variano i valori.

42 teoremi scelti

7 aree del programma

196 esempi pronti

0 € nessuna iscrizione

Per gli esempi interattivi serve JavaScript. Qui sotto l'elenco completo dei teoremi trattati.

Teorema di limitatezza locale — Se la funzione tende a un numero, vicino al punto non può scappare all'infinito.

Teorema di unicità del limite — Se una funzione tende a un numero, quel numero è uno solo.

Teorema della permanenza del segno — Vicino al punto, la funzione ha lo stesso segno del suo limite.

Teorema del confronto — Detto anche «dei due carabinieri»: chi sta in mezzo finisce dove finiscono gli altri due.

Algebra dei limiti — Il limite di una somma è la somma dei limiti, e lo stesso vale per prodotto e quoziente.

Limite notevole di sin x / x — Per angoli piccoli il seno e l'angolo sono la stessa cosa.

Teorema sulle successioni monotone — Una successione che sale sempre e non può superare un tetto è costretta a fermarsi su un valore.

Teorema di Bolzano-Weierstrass — Da una successione che non scappa all'infinito si può sempre estrarre un pezzo che converge.

Teorema di Weierstrass — Su un tratto chiuso e senza strappi esistono davvero un punto più alto e uno più basso.

Teorema di Darboux — Dei valori intermedi: per passare da un'altezza a un'altra bisogna toccare tutte quelle in mezzo.

Teorema di esistenza degli zeri — Se parti sotto zero e arrivi sopra, lo zero l'hai attraversato.

Derivabilità ⟹ continuità — Dove c'è un salto non c'è nessuna pendenza da misurare.

Regola della catena — La derivata di una funzione dentro un'altra è il prodotto delle due derivate.

Derivata della funzione inversa — La pendenza dell'inversa è il reciproco della pendenza di partenza.

Teorema di Fermat — Nei massimi e minimi interni la tangente è orizzontale.

Teorema di Rolle — Se torni all'altezza di partenza, da qualche parte ti sei fermato di salire.

Teorema di Lagrange — Del valor medio: la velocità media viene toccata davvero, almeno una volta.

1º corollario di Lagrange — Derivata sempre nulla significa funzione costante.

2º corollario di Lagrange — Il segno della derivata dice se la funzione sale o scende.

Concavità e derivata seconda — Il segno della derivata seconda dice da che parte si curva il grafico.

Teorema di Cauchy — Lagrange per due funzioni insieme: il rapporto fra le variazioni è il rapporto fra due derivate.

Teorema di De L'Hôpital — Quando i valori non dicono niente, parlano le velocità.

Teorema di Taylor — Vicino a un punto, ogni funzione è un polinomio travestito.

Integrabilità delle funzioni continue — Se la funzione non fa salti, l'area sotto il suo grafico esiste.

Teorema della media integrale — La curva, da qualche parte, vale quanto la sua media.

Teorema di Torricelli-Barrow — Primo teorema fondamentale: derivando l'area si ritrova la curva.

Secondo teorema fondamentale del calcolo — Per calcolare un integrale basta una primitiva, valutata agli estremi.

Integrazione per parti — Uno lo derivi, l'altro lo integri, e quello che resta è più facile.

Integrazione per sostituzione — Cambia nome al pezzo difficile, fai il conto facile, poi rimetti la x.

Criterio del confronto per integrali impropri — Se la funzione più grande ha area finita, anche quella più piccola ce l'ha.

Condizione necessaria di convergenza — Se la somma si ferma, gli addendi devono diventare nulli.

Somma della serie geometrica — Primo termine diviso uno meno la ragione, purché la ragione rimpicciolisca.

Serie armonica generalizzata — La somma di 1/n^α converge se e solo se l'esponente supera 1.

Criterio del confronto per serie — Chi sta sotto una serie convergente converge; chi sta sopra una divergente diverge.

Criterio del rapporto — Se ogni termine è una frazione fissa del precedente, la serie si comporta come una geometrica.

Criterio della radice — Si estrae la radice n-esima del termine e si guarda se il risultato sta sotto 1.

Criterio di Leibniz — Una serie a segni alterni converge se i termini scendono a zero senza risalite.

Teorema di Laplace — Il determinante si calcola riga per riga, scendendo di un ordine alla volta.

Teorema di Binet — Il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti.

Invertibilità e determinante — Una matrice quadrata si può invertire se e solo se il suo determinante non è zero.

Teorema della dimensione — Le direzioni che sopravvivono più quelle che vengono schiacciate fanno il totale di partenza.

Rouché-Capelli e Cramer — Il primo dice se le soluzioni ci sono e quante, il secondo le calcola.

Gli esercizi, non solo la teoria

I teoremi si capiscono facendo i conti. Nella collana «100 Esercizi» ogni volume ne ha cento, svolti passo dopo passo.

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